2.4.1 Catégories pré-abéliennes

Les catégories pré-abéliennes sont essentiellement des catégories munies d'une addition de morphismes:

Définition 2.4.1 Une catégorie $\mathcal {V}$ est une catégorie pré-abélienne si les conditions suivantes sont satisfaites:

pour toute paire d'objets $V,W\in\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace$ , l'ensemble Hom(V, W) est un groupe abélien additif.
la composition de morphismes est bilinéaire: $\forall f,g,h\in\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace$ on a

(f + g)h = fh + gh et f (g + h) = fg + fh.

2.4.1.1 Catégories monoïdales pré-abéliennes

Définition 2.4.2 Une catégorie monoïdale $\mathcal {V}$ est une catégorie monoïdale pré-abélienne si

$\mathcal {V}$ est une catégorie pré-abélienne.
le produit tensoriel est bilinéaire: $\forall f,g,h\in\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace$ on a

(f + g) $\displaystyle \otimes$ h = f $\displaystyle \otimes$ h + g $\displaystyle \otimes$ h etf $\displaystyle \otimes$ (g + h) = f $\displaystyle \otimes$ g + f $\displaystyle \otimes$ h.

Proof. $\operatorname{Hom}(\ensuremath{ \text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{m}\fontsha... ...size{11}{11}\selectfont 1 \fontsize{12}{12}\selectfont\kern-3.8pt 1 } }\xspace)$ est un groupe abélien additif. Or, on sait par la définition 1.2.4 qu'avec la composition de morphismes comme multiplication, le semi-groupe $\ensuremath {\boldsymbol {K}}\xspace =\operatorname{End}(\ensuremath { \text {\... ...e {11}{11}\selectfont 1\fontsize {12}{12}\selectfont \kern -3.8pt 1} }\xspace )$ est commutatif.

Proof. L'action de K sur Hom(V, W) est définie comme suit:

kf = k $\displaystyle \otimes$ f pourk $\displaystyle \in$ K = End( $\ensuremath{\text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{m}\fontshape{n}\fontsize{11}{11}\selectfont 1 \fontsize{12}{12}\selectfont\kern-3.8pt 1 }}$ ) etf $\displaystyle \in$ Hom(V, W).

La composition est K-bilinéaire: $\forall k\in\ensuremath{\boldsymbol{K}}\xspace; \forall f,g\in\operatorname{Hom}(V,W)$ on a

(kf )`o`g = (k $\displaystyle \otimes$ f )g = (k $\displaystyle \otimes$ f )( $\ensuremath{\operatorname{id}_{\ensuremath{\text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{... ...{7.332}{7.332}\selectfont 1 \fontsize{8}{8}\selectfont\kern-2.85pt 1 }}\xspace}}$ $\displaystyle \otimes$ g) = k $\displaystyle \otimes$ fg = k(f`o`g)
f`o`(kg) = f (k $\displaystyle \otimes$ g) = ( $\ensuremath{\operatorname{id}_{\ensuremath{\text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{... ...{7.332}{7.332}\selectfont 1 \fontsize{8}{8}\selectfont\kern-2.85pt 1 }}\xspace}}$ $\displaystyle \otimes$ f )(k $\displaystyle \otimes$ g) = k $\displaystyle \otimes$ fg = k(f`o`g).

2.4.1.2 Catégories ruban pré-abéliennes

Définition 2.4.5 Une catégorie ruban $\mathcal {V}$ est une catégorie ruban pré-abélienne si $\mathcal {V}$ est en même temps une catégorie monoïdale pré-abélienne. Autrement dit, une catégorie ruban pré-abélienne $(\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace,c,\ensuremath{\theta}\xspace,*)$ est une catégorie monoïdale pré-abélienne $\mathcal {V}$ munie d'un tressage c, d'un twist $\theta$ et d'une dualité compatible *.

Proof. Grâce à la naturalité de c (équation 1.3.1.1) et au lemme 1.3.2, i.e. $\forall V\in\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace$ , $c_{\ensuremath{ \text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{m}\fontshape{n}\fontsize{7... ... 1 \fontsize{8}{8}\selectfont\kern-2.85pt 1 } }\xspace,V}=\operatorname{id}_{V}$ ; on a $\forall k\in\ensuremath{\boldsymbol{K}}\xspace$ et $\forall f,g\in\ensuremath{\protect\mathcal{V}}\xspace$ , avec f : V $\to$ V' et g : W $\to$ W' l'égalité suivante:

f $\displaystyle \otimes$ (kg) = f $\displaystyle \otimes$ (k $\displaystyle \otimes$ g) = (f $\displaystyle \otimes$ k) $\displaystyle \otimes$ g = $\displaystyle \bigl($ (f $\displaystyle \otimes$ k)(id_V $\displaystyle \otimes$ $\ensuremath{\operatorname{id}_{\ensuremath{\text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{... ...{7.332}{7.332}\selectfont 1 \fontsize{8}{8}\selectfont\kern-2.85pt 1 }}\xspace}}$ ) $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \otimes$ g = $\displaystyle \bigl($ (f $\displaystyle \otimes$ k)c_{, V} $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \otimes$ g = $\displaystyle \bigl($ c_{, V'}(k $\displaystyle \otimes$ f ) $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \otimes$ g = $\displaystyle \bigl($ ( $\ensuremath{\operatorname{id}_{\ensuremath{\text{ \fontfamily{pscmr}\fontseries{... ...{7.332}{7.332}\selectfont 1 \fontsize{8}{8}\selectfont\kern-2.85pt 1 }}\xspace}}$ $\displaystyle \otimes$ id_V')(k $\displaystyle \otimes$ f ) $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \otimes$ g = (k $\displaystyle \otimes$ f ) $\displaystyle \otimes$ g = k $\displaystyle \otimes$ (f $\displaystyle \otimes$ g) = k(f $\displaystyle \otimes$ g).

et de plus

(kf ) $\displaystyle \otimes$ g = (k $\displaystyle \otimes$ f ) $\displaystyle \otimes$ g = k $\displaystyle \otimes$ (f $\displaystyle \otimes$ g) = k(f $\displaystyle \otimes$ g).